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Die Bestimmung der Grenze. Die standardmäßige Zahl heißt von der Grenze der Reihenfolge, wenn alle unendlich fernen Mitglieder dieser Reihenfolge zu unendlich nah sind, d.h. für jede nicht standardmässige hypernatürliche Zahl ist die Verschiedenheit unendlich klein.

Jetzt nennen wir im Zustand genau, zu sagen, dass wir als die hypergültigen Zahlen. Gerade, dem System der hypergültigen Zahlen heißt eine beliebige Interpretation der betrachteten Sprache RL, in der die selben Urteile, dass auch in der standardmäßigen Interpretation, aber wahrhaft sind für die das Axiom Archimedes nicht erfüllt ist. Die Elemente des Trägers dieser Interpretation heißen von den hypergültigen Zahlen eben. Es sind viel Systeme der hypergültigen Zahlen so möglich.

Wenn auch der Zeichensatz, dessen Elemente wir als die Symbole nennen werden, und den Satz fixiert ist, dessen Elemente wir als die funktionalen Symbole nennen werden. Wenn auch jedem und dem funktionalen Symbol einige natürliche Zahl, die von der Zahl der Argumente genannt wird, oder der Valenz, des entsprechenden Symbols gegenübergestellt ist. In diesem Fall sagen, dass einige Sprache aufgegeben ist.

Wir werden noch einen Terminus, der sich zur einer willkürlichen Sprache L und einer willkürlichen Menge der Urteile der Sprache L. die Menge gemeinsamen, wenn verhält einführen es existiert sein Modell, d.h. wenn die Interpretation der Sprache L existiert, in der alle Formelen aus T.Teper alles wahrhaft sind es ist, um fertig das Theorem der Kompaktheit Malzews abzufassen.

Wir werden jetzt den Begriff der Formel der gegebenen Sprache bestimmen. Wir werden und werden festlegen die unendliche Reihenfolge der Symbole, die von den Variabelen genannt werden festlegen. Wenn auch es, zum Beispiel, die Symbole werden Werden wir am Anfang den Begriff des Terms bestimmen. Gerade ( jede variabel und ein beliebiges funktionales Symbol mit der Null der Argumente das Wesen die Terme;

Wir werden noch zwei Beispiele “der nicht standardmässigen Bestimmungen” der standardmäßigen Begriffe bringen. Wenn auch - die Reihenfolge der gültigen Zahlen, oder mit anderen Worten die Funktion aus N in R. Ihr nicht standardmässiges Analogon stellt die Funktion aus *N in *R dar; die Bedeutung dieser Funktion auf der hypernatürlichen Zahl m zu bezeichnen natürlich.

Wir werden sagen, dass die Reihenfolgen äquivalent sind, wenn die Gleichheit "fast bei allen i“, d.h. Wenn eine Menge jenen i, bei denen, groß erfüllt ist. Laut der Eigenschaft der 5 beliebiger Reihenfolgen, sich unterscheidend in der endlichen Zahl der Mitglieder, sind äquivalent. Zu jeder Reihenfolge ist ihre Klasse der Äquivalenz - die Klasse aller ihr äquivalenten Reihenfolgen vergleichbar. Die sich ergebenden Klassen der Äquivalenz werden von den hypergültigen Zahlen heißen. Die gewöhnlichen gültigen Zahlen werden in eine Menge der hypergültigen Zahlen angelegt. So zeigt es sich *R, wie wir jenen wollten und, der Erweiterung einer Menge R.

( wenn t und s die Terme, so (t=s) - die Formel; ( wenn - die Terme, und - das Symbol mit m von den Argumenten, so - die Formel; wenn - das Symbol mit der Null der Argumente, so - die Formel; ( wenn und Q - die Formel, so - die Formel; ( wenn - die Formel, und - variabel, so und - die Formel.

Es existieren zwei Weisen des Beweises. Einer von ihnen verwendet die nicht trivialen Ultrafilter, und andere Methode besteht in der Anwendung einen der zentralen Theoreme der Logik - das Theorem G±delja-Malzewa über die Fülle, wir betrachten es bis ins Einzelne. Es klärt sich der Begriff der Ableitbarkeit des gegebenen Urteils aus der gegebenen Menge der Urteile T.Wywodimosts aus bedeutet, dass die Reihenfolge der Formelen existiert, jede von denen gehört oder, oder im Voraus es sich einer fixierten Menge, oder aus den vorgehenden Mitgliedern der Reihenfolge nach bestimmten Regeln ergibt, wobei die letzte Formel dieser Reihenfolge die Formel ist. Die Reihenfolge der Formelen, die über die beschriebenen Eigenschaften verfügt, heißt von der Schlussfolgerung der Formel aus einer Menge der Formelen

Die Bestimmung des Höchstpunktes. Die standardmäßige Zahl heißt vom Höchstpunkt der Reihenfolge, wenn einige unendlich ferne Mitglieder der Reihenfolge zu unendlich nah sind, d.h. es existiert solche nicht standardmässige hypernatürliche Zahl, dass die Verschiedenheit unendlich klein ist.